高速フーリエ変換とは？意味をわかりやすく簡単に解説

高速フーリエ変換とは

高速フーリエ変換（FFT）は、離散フーリエ変換（DFT）を効率的に計算するアルゴリズムです。DFTは、信号処理や画像処理など、さまざまな分野で利用される基本的なツールであり、時間領域の信号を周波数領域に変換するために使用されます。高速フーリエ変換を用いることで、DFTの計算量を大幅に削減し、実用的な時間で処理できるようになります。

高速フーリエ変換は、1965年にJ.W.クーリーとJ.W.テューキーによって発表されたアルゴリズムが広く知られています。このアルゴリズムは、DFTの計算を再帰的に分割統治法を適用することで、計算量をO(N^2)からO(N log N)に削減します。Nはデータ点の数であり、Nが大きいほど高速フーリエ変換の効果が顕著になります。

高速フーリエ変換は、現代のデジタル信号処理において不可欠な技術です。音声分析、画像圧縮、通信システムなど、多岐にわたる応用例が存在します。高速フーリエ変換の登場によって、リアルタイムでの信号処理や大規模データの解析が可能になり、科学技術の発展に大きく貢献しました。

高速フーリエ変換の仕組み

「高速フーリエ変換の仕組み」に関して、以下を解説していきます。

• 分割統治法による計算
• バタフライ演算の詳細

分割統治法による計算

高速フーリエ変換は、分割統治法というアルゴリズム設計パラダイムに基づいています。この手法では、問題をより小さな部分問題に分割し、それらを再帰的に解くことによって、最終的な解を得ます。分割統治法を適用することで、DFTの計算量を大幅に削減できます。

具体的には、N点のDFTを、N/2点のDFT二つに分割します。この分割を再帰的に繰り返すことで、最終的に1点のDFTまで分解されます。分割されたDFTの結果を組み合わせることで、元のN点のDFTの結果を得ることが可能です。

バタフライ演算の詳細

バタフライ演算は、高速フーリエ変換の中核をなす計算ステップです。この演算は、分割されたDFTの結果を効率的に組み合わせるために使用されます。バタフライ演算の名前は、その計算グラフが蝶の羽に似ていることに由来します。

バタフライ演算では、二つの複素数に対して、回転因子と呼ばれる値を乗算し、加算と減算を行います。この演算を繰り返すことで、DFTの結果を効率的に計算できます。バタフライ演算は、高速フーリエ変換の計算量を削減する上で重要な役割を果たします。